Polinomlar

Polinom nedir?
`x` bir değişken `a_0, a_1, a_2, ..., a_n in RR` ve `n in NN` olmak üzere; `P(x) = a_nx^n + a_(n–1)x^(n–1) + ... + a_1x + a_0` biçimindeki ifadeye gerçek ve tek değişkenli polinom denir.
Neden tek değişkenli diyoruz?
Bir değişkenlidir çünkü sadece `x` değişkeni vardır. Eğer `y` değişkeni veya başka değişkenler de olsaydı çok değişkenli olurdu.
Polinomlar yazılırken `P(x), Q(x)` gibi çeşitli harflerle simgelendiği oluyor. Bu harflerin bir anlamı var mıdır?
Polinom yazılırken ` P(x), Q(x), R(x), S(x) ` gibi çeşitli harfler kullanılabilir. Bu harflerin hangisinin kullanıldığının önemi yoktur.

Polinomun Terimleri

Polinomun Terimleri ne demek?
`P(x) = a_nx^n + a_(n–1)x^(n–1) + ... + a_1x + a_0` polinomunda; `a_nx^n, a_(n–1)x^(n–1),..., a_1x, a_0` ifadelerine polinomun terimleri denir.
Örnek:
`P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 5` polinomunun birinci terimi `2x^3`, ikinci terimi `-7x^2` ve üçüncü terimi `5`'tir.

Polinomun Katsayıları

Polinomun Katsayıları ne demek?
`P(x) = a_nx^n + a_(n–1)x^(n–1) + ... + a_1x + a_0` polinomunda; `a_n,a_(n–1), ..., a_1, a_0` gerçek sayılarına polinomun katsayıları denir.
Örnek:
`P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 5` polinomunun birinci teriminin katsayısı `2`, ikinci teriminin katsayısı `-7` ve üçüncü teriminin katsayısı `5`'tir.

Polinomun Terimlerinin Derecesi

Polinomun Terimlerinin Derecesi ne demek?
`P(x) = a_nx^n + a_(n–1)x^(n–1) + ... + a_1x + a_0` polinomunda; `n, n-1, ..., 1, 0` sayılarına polinomun terimlerinin dereceleri denir.
Örnek:
`P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 5` polinomunun birinci teriminin derecesi `3`, ikinci teriminin derecesi `2` ve üçüncü teriminin derecesi `0`'dır. (Üçüncü terimi aslında `5x^0` olduğundan derecesi de `0`'dır.)
Bir polinomda değişkenin(`x`) her derecesi sırayla yer almalı mı?
Hayır, `x`'in her derecesi olmak zorunda değil. Bazen `x`'in bazı dereceleri polinomda görülmez, bu durumda aslında görülmeyen `x`'in katsayısı `0`'dır. Örneğin, `P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 0x^1 + 5` polinomunda `x`'in katsayısı 0 olduğundan `x` terimi hiç yazılmaz. Yani polinom şu şekilde yazılır: `P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 5`.

Polinomun Tanımlı Olma Şartları

Her sayı polinomun terimlerinin derecesi olabilir mi?
Hayır. Polinomun terimlerinin dereceleri irrasyonel sayı olamaz, negatif sayı olamaz. Yalnızca doğal sayılar yani 0 veya pozitif tamsayılar olabilir.
Örnek 1: `P(x) = 3x^4 - 2x^(3/2) + 3` polinomu tanımlı mıdır?
Değildir. Çünkü `3/2` doğal sayı değildir. (`3/2 !in NN`)
Örnek 2: `Q(x) = 3x^pi - 2x^3 + 3` polinomu tanımlı mıdır?
Değildir. Çünkü `pi` doğal sayı değildir. (`pi !in NN`)
Örnek 3: `R(x) = 3x^4 - 2x^-2 + 3` polinomu tanımlı mıdır?
Değildir. Çünkü `-1` doğal sayı değildir. (`-2 !in NN`)
Örnek 4: `P(x) = 3x^4 - 2x^sqrt7 + 3` polinomu tanımlı mıdır?
Değildir. Çünkü `sqrt7` doğal sayı değildir. (`sqrt7 !in NN`)
Örnek 5: `Q(x) = 5x^2 - 2sqrtx + 3` polinomu tanımlı mıdır?
Değildir. Çünkü `sqrtx` aslında `x^(1/2)`'dir. `1/2` ise doğal sayı değildir. (`1/2 !in NN`)
Örnek 6: `S(x) = 2x^2 - 3/x + 3` polinomu tanımlı mıdır?
Değildir. Çünkü `-3/x` aslında `-3x^-1`'dir. `-1` ise doğal sayı değildir. (`-1 !in NN`)
Örnek 7: `P(x) = -3/2 x^4 - 2pi x^2 - sqrt3x^0` polinomu tanımlı mıdır?
Tanımlıdır. Çünkü sadece terimlerin dereceleri doğal sayı olmalıdır ve tüm dereceler doğal sayıdır.(`4 in NN`, `2 in NN`, `0 in NN`). Polinomun katsayıları herhangi bir gerçek sayı olabilir. Bu bir soruna yol açmaz. Örneğin `pi`, `e`, `sqrt2` gibi irrasyonel sayılar ve negatif sayılar katsayı olabilir. Bunlar polinomun tanımlı olmasını engellemez.

Polinomun Sabit Terimi

Polinomun Sabit terimi nedir?
`P(x) = a_nx^n + a_(n–1)x^(n–1) + ... + a_1x + a_0` polinomunda; `a_0` sayısına polinomun sabit terimi denir. Aslında sabit terimin de bir x çarpanı vardır ancak bu x'in derecesi 0'dır yani `x^0`'dır. `x^0 = 1` olduğundan yazılmaz(`x` görünmez), bu nedenle sadece katsayı yazılır.
Örnek:
`P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 5x^0` yazılmaz, bunun yerine `P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 5` yazılır. Ve bu polinomun sabit terimi `5`'tir.

Polinomun Başkatsayısı ve Derecesi

Polinomun Baş Katsayısı ne demek?
Bir polinomda derecesi en büyük olan terim, özel bir terimdir. Bu terimin katsayısına baş katsayı denir.
Polinomun Derecesi ne demek?
Bir polinomda derecesi en büyük olan terim, özel bir terimdir. Bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve bu derece `der[P(x)]` ile gösterilir.
Örnek 1:
`P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 5` polinomunda en büyük dereceli terim `2x^3` terimidir. O halde polinomun başkatsayısı `2` ve polinomun derecesi `3` tür. (`der[P(x)] = 3`)
Örnek 2:
`Q(x) = -2x^5 + 4x^4 - 9x^7 + 12x^2 - 14` polinomundaki en büyük dereceli terim `-9x^7` terimidir. (Genelde en büyük dereceli terim ilk önce ve daha düşük dereceli terimler daha sonra sırayla yazılır ancak yine de bu örnekteki gibi sırasız yazılmasına karşı dikkatli olmalısınız) O zaman bu özel terime bakarak polinomun başkatsayısının `-9` ve polinomun derecesinin `7` olduğunu (yani `der[P(x)] = 7`) bulabiliriz.

Sabit Polinom ve Sıfır Polinomu

Sabit Polinom ne demek?
Sabit terimi dışındaki tüm katsayıları sıfır olan polinoma sabit polinom denir. Yani sabit polinomun sadece bir terimi vardır ve terimin derecesi `x^0`'dır ve haliyle yazılmaz, sadece katsayı yazılır. ( Ör: `3x^0` yerine sadece `3` yazılır.) Sabit polinomların derecesi `0`'dır.
Örnek:
`P(x) = -12` polinomu sabit polinomdur çünkü sadece tek bir terimi vardır ve o terim de `-12x^0` terimi yani `x`'in görünmediği terimdir. Dolayısıyla polinomda sadece bir katsayı görünür.

Sıfır Polinomu ne demek?
Sabit polinomun sabit terimi de sıfır ise o polinoma artık sıfır polinomu denir.
Örnek:
`P(x) = 0`